Bartolo Luque, Fernando Ballesteros y Octavio Miramontes

 

Un modelo matemático propuesto hace un siglo y sus versiones modernas están ayudando a frenar la propagación de la COVID-19.

En síntesis

La pandemia de COVID-19 ha obligado a tomar medidas drásticas en todo el mundo para frenar su propagación. Para evaluar la idoneidad de las distintas estrategias, los científicos deben primero modelizar la evolución de la enfermedad.

Varios de los fenómenos clave que rigen la dinámica de una epidemia, como la existencia de un pico en la curva de contagios o la aparición de la inmunidad de grupo, pueden entenderse a partir de un modelo matemático formulado en 1927.

Conocer los aspectos más sencillos de dicho modelo permite analizar la evolución de la pandemia actual, la eficacia de las medidas propuestas y los principios generales que guían la elaboración de modelos más complejos.

La pandemia de COVID-19, provocada por el coronavirus SARS-CoV-2, constituye la crisis sanitaria global más seria a la que se ha enfrentado la humanidad desde la epidemia mundial de gripe de 1918. Al tratarse de un virus completamente nuevo para las personas, no disponemos de respuesta inmunitaria ni de vacuna para paliar sus efectos. Sin embargo, gracias a la experiencia previa con otras epidemias y a la guía de los modelos matemáticos, los Gobiernos de distintos países han puesto en marcha medidas de mitigación que, aunque rozan la distopía, se están traduciendo en un gran número de vidas salvadas.

La intención de este artículo es doble. Por un lado, queremos ilustrar cómo los modelos matemáticos pueden iluminar un área de la ciencia (la epidemiología, en este caso) hasta el extremo de resultar, no ya una simple herramienta de apoyo, sino fundamentales en su entendimiento. Y por otro, más importante en estos momentos, dotar al lector de un marco conceptual matemático para que pueda desarrollar su propio juicio sobre la evolución de la pandemia y las medidas que se están adoptando para paliarla.

Tal y como nos ha enseñado la actual pandemia de COVID-19, un brote epidémico puede comenzar con un «individuo cero»: el primer portador del virus. Este infectará después a otros, que, a su vez, contagiarán a más personas, lo que dará lugar a una reacción en cadena. ¿Podemos modelizar matemáticamente este proceso y predecir su evolución? Y, en tal caso, ¿podemos actuar para mitigar sus efectos?

La gran mortandad provocada por las enfermedades infecciosas ha sido motivo de investigación matemática desde el siglo XVIII. Pero hubo que esperar hasta 1927 para que el bioquímico William Ogilvy Kermack (1898-1970) y el médico Anderson Gray McKendrick (1876-1943) propusieran lo que hoy conocemos como el «modelo SIR» y derivaran uno de los resultados clave de la epidemiología: la existencia de un punto umbral que separa el crecimiento de una epidemia de su extinción. Este trabajo, junto con las investigaciones pioneras del médico Ronald Ross (1857-1932) y la matemática Hilda Hudson (1881-1965), marcaron el comienzo de la epidemiología matemática moderna. Y, a pesar de que desde entonces ha habido una explosión de modelos cada vez más complejos, la mayoría de ellos se basan en las ideas del modelo SIR, el cual sigue siendo capaz de dar cuenta de las nociones principales que describen la dinámica de una epidemia.

Un modelo sencillo

El modelo clásico de Kermack y McKendrick divide los N individuos de una población en tres clases de acuerdo con su estado epidemiológico. Por un lado tenemos a aquellas personas que no son inmunes y que, por tanto, se hallan en riesgo de contraer la infección. Este grupo de población suele denotarse mediante la letra S (del inglés susceptible, «vulnerable»). Cuando uno de estos individuos se contagia pasa a formar parte del grupo de infectados, I. Finalmente, una vez que estos se sobreponen integrarán el grupo de personas recuperadas, R, las cuales ya son inmunes y no pueden transmitir más la infección (de aquí las siglas SIR).

LA FASE inicial de la propagación de una epidemia queda descrita por un aumento exponencial en el número de casos. Estas gráficas representan, en escala semilogarítmica, la cantidad de infectados confirmados diarios (izquierda) y del total acumulado (derecha) entre los días 1 y 16 de marzo de 2020 en España (rojo) y Japón (naranja). Los puntos representan datos reales, mientras que las rectas corresponden al ajuste teórico. Los datos acumulados (A(t), la suma del número de infectados I(t) que se observa cada día), que siempre resultan menos ruidosos que los diarios, se ajustan a la función exponencial A(t) = (I(0)/a)eat, la cual tendrá el mismo exponente a que en los datos diarios. En ambas situaciones el crecimiento es efectivamente exponencial, como predice la teoría, aunque las pendientes para España y Japón son muy distintas: 0,32 y 0,085, respectivamente. Dicha diferencia se debe al distinto valor que toma en cada caso el número básico de reproducción, R0, el cual puede entenderse como la cantidad de contagios que provoca de media cada persona infectada. [FUENTE DE LOS DATOS: CENTRO EUROPEO PARA LA PREVENCIÓN Y EL CONTROL DE ENFERMEDADES,

www.ecdc.europa.eu/en/publications-data/download-todays-data-geographic-distribution-covid-19-cases-worldwide]

https://www.investigacionyciencia.es/revistas/investigacion-y-ciencia/una-crisis-csmica-798/cmo-modelizar-una-pandemia-18561